线性表的查找

查找简介

什么是查找？

查找是根据给定的某个值，在表中确定一个关键字的值等于给定值的记录或数据元素。

查找算法的分类

若在查找的同时对表记录做修改操作（如插入和删除），则相应的表称之为动态查找表；

否则，称之为静态查找表。

此外，如果查找的全过程都在内存中进行，称之为内查找；

反之，如果查找过程中需要访问外存，称之为外查找。

查找算法性能比较的标准

——平均查找长度 ASL（Average Search Length）

由于查找算法的主要运算是关键字的比较过程，所以通常把查找过程中对关键字需要执行的平均比较长度（也称为平均比较次数）作为衡量一个查找算法效率优劣的比较标准。

选取查找算法的因素

(1) 使用什么数据存储结构（如线性表、树形表等）。

(2) 表中的次序，即对无序表还是有序表进行查找。

顺序查找

要点

它是一种最简单的查找算法，效率也很低下。

存储结构

没有存储结构要求，可以无序，也可以有序。

基本思想

从数据结构线形表的一端开始，顺序扫描，依次将扫描到的结点关键字与给定值 k 相比较，若相等则表示查找成功；

若扫描结束仍没有找到关键字等于 k 的结点，表示查找失败。

核心代码

public int orderSearch(int[] list, int length, int key) {
    // 从前往后扫描list数组，如果有元素的值与key相等，直接返回其位置
    for (int i = 0; i < length; i++) {
        if (key == list[i]) {
            return i;
        }
    }

    // 如果扫描完，说明没有元素的值匹配key，返回-1，表示查找失败
    return -1;
}

算法分析

顺序查找算法最好的情况是，第一个记录即匹配关键字，则需要比较 1 次；

最坏的情况是，最后一个记录匹配关键字，则需要比较 N 次。

所以，顺序查找算法的平均查找长度为

ASL = (N + N-1 + ... + 2 + 1) / N = (N+1) / 2

顺序查找的平均时间复杂度为O(N)。

二分查找

二分查找针对的是一个有序的数据集合，查找思想有点类似分治思想。每次都通过跟区间的中间元素对比，将待查找的区间缩小为之前的一半，直到找到要查找的元素，或者区间被缩小为 0。

存储结构

使用二分查找需要两个前提：

(1) 必须是顺序存储结构。

(2) 必须是有序的表。

基本思想

首先，将表中间位置记录的关键字与查找关键字比较，如果两者相等，则查找成功；

否则利用中间位置记录将表分成前、后两个子表，如果中间位置记录的关键字大于查找关键字，则进一步查找前一子表，否则进一步查找后一子表。 重复以上过程，直到找到满足条件的记录，使查找成功，或直到子表不存在为止，此时查找不成功。

核心代码

public int binarySearch(int[] list, int length, int key) {
    int low = 0, mid = 0, high = length - 1;
    while (low <= high) {
        mid = (low + high) / 2;
        if (list[mid] == key) {
            return mid; // 查找成功，直接返回位置
        } else if (list[mid] < key) {
            low = mid + 1; // 关键字大于中间位置的值，则在大值区间[mid+1, high]继续查找
        } else {
            high = mid - 1; // 关键字小于中间位置的值，则在小值区间[low, mid-1]继续查找
        }
    }
    return -1;
}

算法分析

二分查找的过程可看成一个二叉树。

把查找区间的中间位置视为树的根，左区间和右区间视为根的左子树和右子树。

由此得到的二叉树，称为二分查找的判定树或比较树。

由此可知，二分查找的平均查找长度实际上就是树的高度O(log₂N)。

二分查找的局限性

• 二分查找依赖的是顺序表结构，简单点说就是数组
• 二分查找针对的是有序数据
• 数据量太小不适合二分查找
• 数据量太大也不适合二分查找

分块查找

要点

分块查找(Blocking Search)又称索引顺序查找。它是一种性能介于顺序查找和二分查找之间的查找方法。

分块查找由于只要求索引表是有序的，对块内节点没有排序要求，因此特别适合于节点动态变化的情况。

存储结构

分块查找表是由**“分块有序”的线性表和索引表**两部分构成的。

所谓**“分块有序”的线性表**，是指：

假设要排序的表为 R[0...N-1]，将表均匀分成 b 块，前 b-1 块中记录个数为 s=N/b，最后一块记录数小于等于 s；

每一块中的关键字不一定有序，但前一块中的最大关键字必须小于后一块中的最小关键字。

注：这是使用分块查找的前提条件。

如上将表均匀分成 b 块后，抽取各块中的最大关键字和起始位置构成一个索引表 IDX[0...b-1]。

由于表 R 是分块有序的，所以索引表是一个递增有序表。

下图就是一个分块查找表的存储结构示意图

基本思想

分块查找算法有两个处理步骤：

(1) 首先查找索引表

因为分块查找表是“分块有序”的，所以我们可以通过索引表来锁定关键字所在的区间。

又因为索引表是递增有序的，所以查找索引可以使用顺序查找或二分查找。

(2) 然后在已确定的块中进行顺序查找

因为块中不一定是有序的，所以只能使用顺序查找。

代码范例

class BlockSearch {

    class IndexType {
        public int key; // 分块中的最大值
        public int link; // 分块的起始位置
    }

    // 建立索引方法，n 是线性表最大长度，gap是分块的最大长度
    public IndexType[] createIndex(int[] list, int n, int gap) {
        int i = 0, j = 0, max = 0;
        int num = n / gap;
        IndexType[] idxGroup = new IndexType[num]; // 根据步长数分配索引数组大小

        while (i < num) {
            j = 0;
            idxGroup[i] = new IndexType();
            idxGroup[i].link = gap * i; // 确定当前索引组的第一个元素位置
            max = list[gap * i]; // 每次假设当前组的第一个数为最大值
            // 遍历这个分块，找到最大值
            while (j < gap) {
                if (max < list[gap * i + j]) {
                    max = list[gap * i + j];
                }
                j++;
            }
            idxGroup[i].key = max;
            i++;
        }

        return idxGroup;
    }

    // 分块查找算法
    public int blockSearch(IndexType[] idxGroup, int m, int[] list, int n, int key) {
        int mid = 0;
        int low = 0;
        int high = m -1;
        int gap = n / m; // 分块大小等于线性表长度除以组数

        // 先在索引表中进行二分查找，找到的位置存放在 low 中
        while (low <= high) {
            mid = (low + high) / 2;
            if (idxGroup[mid].key >= key) {
                high = mid - 1;
            } else {
                low = mid + 1;
            }
        }

        // 在索引表中查找成功后，再在线性表的指定块中进行顺序查找
        if (low < m) {
            for (int i = idxGroup[low].link; i < idxGroup[low].link + gap; i++) {
                if (list[i] == key)
                    return i;
            }
        }

        return -1;
    }

    // 打印完整序列
    public void printAll(int[] list) {
        for (int value : list) {
            System.out.print(value + " ");
        }
        System.out.println();
    }

    // 打印索引表
    public void printIDX(IndexType[] list) {
        System.out.println("构造索引表如下：");
        for (IndexType elem : list) {
            System.out.format("key = %d, link = %d\n", elem.key, elem.link);
        }
        System.out.println();
    }

    public static void main(String[] args) {
        int key = 85;
        int array2[] = { 8, 14, 6, 9, 10, 22, 34, 18, 19, 31, 40, 38, 54, 66, 46, 71, 78, 68, 80, 85 };
        BlockSearch search = new BlockSearch();

        System.out.print("线性表: ");
        search.printAll(array2);

        IndexType[] idxGroup = search.createIndex(array2, array2.length, 5);
        search.printIDX(idxGroup);
        int pos = search.blockSearch(idxGroup, idxGroup.length, array2,
                array2.length, key);
        if (-1 == pos) {
            System.out.format("查找key = %d失败", key);
        } else {
            System.out.format("查找key = %d成功，位置为%d", key, pos);
        }
    }

}

运行结果

线性表: 8 14 6 9 10 22 34 18 19 31 40 38 54 66 46 71 78 68 80 85
构造索引表如下：
key = 14, link = 0
key = 34, link = 5
key = 66, link = 10
key = 85, link = 15

查找key = 85成功，位置为19

算法分析

因为分块查找实际上是两次查找过程之和。若以二分查找来确定块，显然它的查找效率介于顺序查找和二分查找之间。

三种线性查找的 PK

(1) 以平均查找长度而言，二分查找 > 分块查找 > 顺序查找。

(2) 从适用性而言，顺序查找无限制条件，二分查找仅适用于有序表，分块查找要求“分块有序”。

(3) 从存储结构而言，顺序查找和分块查找既可用于顺序表也可用于链表；而二分查找只适用于顺序表。

(4) 分块查找综合了顺序查找和二分查找的优点，既可以较为快速，也能使用动态变化的要求。

参考资料